Question

如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．

（1）求证：AE与⊙O相切于点A；

（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．

（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为2．

【解析】
（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，

则AF为直径，∠ABF＝90°，

∵，

∴∠ACB＝∠F，

∵∠BAE＝∠ACB，

∴∠BAE＝∠F，

∵∠FAB+∠F＝90°，

∴∠FAB+∠BAE＝90°，

∴OA⊥AE，

∴AE与⊙O相切于点A．

（2）连接OC，

∵AE∥BC，

∴∠BAE＝∠ABC，

∵∠BAE＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴AC＝AB＝2，

∴∠AOC＝∠AOB，

∵OC＝OB，

∴OA⊥BC，

∴CH＝BH＝BC＝，

在Rt△ABH中，

AH＝＝1，

在Rt△OBH中，设OB＝r，

∵OH2+BH2＝OB2，

∴（r﹣1）2+（）2＝r2，

解得：r＝2，

∴DB＝2r＝4，

在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，

∴AD的长为2．