Question

如图，直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，点D为点B（﹣3，0）关于AC的对称点，反比例函数y＝的图象经过点D．

（1）求证：四边形ABCD为菱形；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）已知在y＝的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标．

Answer

（1）证明见解析；（2）反比例函数解析式为y＝；（3）点M的坐标为（0，）．

【解析】

（1）由直线解析式可得A（0，4），C（2，0），利用勾股定理求得AB＝5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，即可证得AB＝BC＝CD＝DA，得证四边形ABCD为菱形.

（2）由四边形ABCD为菱形.可求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式.

（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质可得到N的横坐标，代入反比例函数解析式求出N纵坐标，从而求得M的坐标.

【解析】
（1）∵直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，

∴A（0，4），C（2，0），

∴AB＝＝5，BC＝5，

∵D为B点关于AC的对称点，

∴AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，

∴AB＝BC＝CD＝DA，

∴四边形ABCD为菱形.

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

而AD＝5，A（0，4），

∴D（5，4），

把D（5，4）代入y＝得k＝5×4＝20，

∴反比例函数解析式为y＝.

（3）∵四边形ABMN是平行四边形，

∴AB∥NM，AB＝NM，

∴MN是AB经过平移得到的，

∵点M是点B在水平方向向右平移3个单位长度，

∴点N的横坐标为3，代入y＝中，得：y＝，

∴点M的纵坐标为﹣4＝，

∴点M的坐标为（0，）．