Question

如图1所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，t+1），B（t-5，-1）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）设点（a，b）和（c，d）是反比例函数y=图象上两点，若，求a-c的值；

（3）若M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点在直线AB上，如图2所示，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知-3＜x₁＜0，x₂＞1，请探究当x₁、x₂满足什么关系时，MN∥EF．

Answer

（1）一次函数的解析式为y=x+2， 反比例函数的解析式为；（2）；（3）当x1x2=﹣3时，有ME∥NF．

【解析】

（1）把已知点代入函数，利用待定系数法求函数关系式.(2)把已知点代入反比例函数，利用已知分式，消元化简，可得的值.（3）利用解析法，设出每个点的坐标，然后再根据平行的条件，解得x1、x2满足的条件.

（1）,

解得m=3,t=2,k=1,b=2,

一次函数的解析式为y=x+2，

反比例函数的解析式为；

(2)根据题意可以有 ，从而有 所以有．

（3）要有MN∥EF，因为有ME∥NF,故只要有ME=NF，

由题意可知，M（x1，x1+2），N（x2，x2+2），E（x1，），F（x2，），

∴ME= x1+2﹣， NF= x2+2﹣，当ME=NF时，x1+2﹣，NF= x2+2﹣，

即（x1- x2）（1+）=0， ∵﹣3＜x1＜0，x2＞1，∴x1- x2≠0，1+=0，∴x1x2=﹣3，

∴当x1x2=﹣3时ME=NF，又ME∥NF，四边形MNFE为平行四边形，所以此时有ME∥NF．

即当x1x2=﹣3时ME∥NF．