Question

如图，已知△ABC中AB＝AC，在AC上有一点D，连接BD，并延长至点E，使AE＝AB．

（1）画图：作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF；

（3）若AC＝8，∠E＝15°，求三角形ABE的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16.

【解析】

（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；

（2）求出AE＝AC，根据角平分线的定义可得∠EAF＝∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ACF；

（3）作高线EG，根据三角形的外角性质得∠EAG＝30°，根据直角三角形的性质可得高线EG＝4，根据三角形面积公式可得结论．

（1）【解析】
如图所示；

（2）证明：∵AB＝AC，AE＝AB，

∴AE＝AC，

∵AF是∠EAC的平分线，

∴∠EAF＝∠CAF，

在△AEF和△ACF中，

，

∴△AEF≌△ACF（SAS），

∴∠E＝∠ACF，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠E，

∴∠ABE＝∠ACF．

（3）【解析】
如图，过E作EG⊥AB，交BA的延长线于G，

∵AB＝AC＝AE＝8，

∴∠ABE＝∠AEB＝15°，

∴∠GAE＝∠ABE+∠AEB＝30°，

∴EG＝AE＝4，

∴三角形ABE的面积＝＝＝16．