Question

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，CB＝5，动点M从C点开始沿CB运动，动点N从B点开始沿BA运动，同时出发，两点均以1个单位/秒的速度匀速运动（当M运动到B点即同时停止），运动时间为t秒．

（1）AN＝　   　；CM＝　   　．（用含t的代数式表示）

（2）连接CN，AM交于点P．

①当t为何值时，△CPM和△APN的面积相等？请说明理由．

②当t＝3时，试求∠APN的度数．

Answer

（1）8﹣t，t；（2）①；②∠APN＝45°

【解析】

（1）根据路程＝速度×时间，可用含t的代数式表示BN，CM的长，即可用含t的代数式表示AN的长；

（2）①由题意可得S△ABM＝S△BNC，根据三角形面积公式可求t的值；

②过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，过点A作AE⊥CN，交CN的延长线于点E，连接BP，可证四边形PGBF是矩形，可得PF＝BG，根据三角形的面积公式，可得方程组，求出PG，PF的长，根据勾股定理可求PN的长，通过证△ANE∽△CNB，可求AE，NE的长，即可求∠APN的度数．

【解析】
（1）∵M，N两点均以1个单位/秒的速度匀速运动，

∴CM＝BN＝t，

∴AN＝8﹣t，

故答案为：8﹣t，t；

（2）①若△CPM和△APN的面积相等

∴S△CPM+S四边形BMPN＝S△APN+S四边形BMPN，

∴S△ABM＝S△BNC，

∴,

∴8×（5﹣t）＝5t

∴t＝

∴当t＝时，△CPM和△APN的面积相等；

②如图，过点P作PF⊥BC，PG⊥AB，过点A作AE⊥CN，交CN的延长线于点E，连接BP，

∵PG⊥AB，PF⊥BC，∠B＝90°，

∴四边形PGBF是矩形，

∴PF＝BG，

∵t＝3，

∴CM＝3＝BN，

∴BM＝2，AN＝5，

∵S△ABM＝S△ABP+S△BPM，

∴

∴16＝8PG+2PF①

∵S△BCN＝S△BCP+S△BPN，

∴×5×3＝

∴15＝3PG+5PF②

由①②组成方程组解得：PG＝，PF＝，

∴BG＝

∴NG＝BN﹣BG＝3﹣＝

在Rt△PGN中，PN＝＝，

在Rt△BCN中，CN＝＝

∵∠B＝∠E＝90°，∠ANE＝∠BNC

∴△ANE∽△CNB

∴

∴

∴AE＝，NE＝

∵PE＝EN+PN

∴PE＝+＝

∴AE＝PE，且AE⊥PE

∴∠APN＝45°