Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（8，4），点C的坐标为（3，4），连接AB、BC、OC

（1）求证四边形OABC是菱形；

（2）直线l过点C且与y轴平行，将直线l沿x轴正方向平移，平移后的直线交x轴于点P．

①当OP：PA＝3：2时，求点P的坐标；

②点Q在直线1上，在直线l平移过程中，当△COQ是等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．

Answer

（1）证明见解析；（2）①点P坐标为（3，0）或（15，0）；②点Q坐标为：（﹣4，3），（7，1），（，）

【解析】

（1）根据两点距离公式可求AO=BC=CO=AB=5，即可证四边形OABC是菱形；
（2）①分点P在线段OA上，在点A右侧两种情况讨论，根据题意可求OP的长，即可求点P的坐标；
②分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质，可求点Q的坐标．

证明：（1）∵点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（8，4），点C的坐标为（3，4），O点坐标（0，0）

∴AO＝BC＝5，CO＝＝5，AB＝ ＝5

∴AO＝BC＝CO＝AB＝5

∴四边形ABCO是菱形

（2）①当点P在线段OA上，

∵OP：PA＝3：2，OP+AP＝5

∴OP＝3，PA＝2

∴点P坐标为（3，0）

当点P在点A的右侧，

∵OP：PA＝3：2，OP﹣AP＝OA＝5

∴OP＝15，AP＝10

∴点P坐标为（15，0）

②如图，当∠COQ＝90°，OC＝OQ时，过点C作CE⊥OA于E，则OE＝3，CE＝4，

∵∠COE+∠POQ＝90°，∠COE+∠OCE＝90°，

∴∠OCE＝∠POQ，且OC＝OQ，∠CEO＝∠OPQ

∴△COE≌△QOP（AAS）

∴PQ＝OE＝3，OP＝CE＝4，

∴点Q坐标（﹣4，3）

如图，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ时，过点C作CE⊥OA于点E，则CE＝4，OE＝3，

过点Q作FQ⊥CE于点F，

∵∠OCE+∠ECQ＝90°，∠ECQ+∠CQF＝90°，

∴∠OCE＝∠CQF，且OC＝CQ，∠OEC＝∠CFQ＝90°，

∴△OEC≌△CFQ（AAS）

∴CF＝OE＝3，FQ＝CE＝4，

∴EF＝1，

∵QF⊥CE，CE⊥AO，PQ⊥OA

∴四边形EPQF是矩形

∴EP＝FQ＝4

即OP＝7

∴点Q坐标为（7，1）

如图，若∠CQO＝90°，CQ＝OQ时，过点C作CE⊥OA于点E，则CE＝4，OE＝3，

∵∠CQH+∠OQP＝90°，∠PQO+∠QOP＝90°，

∴∠CQH＝∠QOP，且OQ＝CQ，∠CHQ＝∠OPQ＝90°，

∴△OPQ≌△QHC（AAS）

∴OP＝HQ，CH＝PQ，

∵CE⊥OA，PH⊥BC，PH⊥OA

∴四边形CEPH是矩形，

∴EP＝CH＝PQ，HP＝CE＝4，

∵HQ+PQ＝HP＝4＝OP+EP，OP﹣EP＝OE＝3，

∴OP＝，EP＝PQ＝

∴点Q坐标（）

综上所述：点Q坐标为：（﹣4，3），（7，1），（）