Question

如图，抛物线y＝x²+bx+c过点A（2，0）和B（3，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M在第二象限的抛物线上，且∠MBO＝∠ABO．

①直线BM交x轴于点N，求线段ON的长；

②延长BO交抛物线于点C，点P是平面内一点，连接PC、OP，当△POC∽△MOB时，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）；（2）①ON＝6；②点P坐标为或

【解析】

（1）把点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）①证明△BOL≌△BOA，利用即可求解；②当△POC∽△MOB时，点P的位置可能第二象限也可能在第四象限，分别求解即可．

【解析】
（1）把点A、B坐标代入二次函数表达式：

，解得： ，

故：抛物线的表达式为：……①；

（2）①过点B分别向x轴、y轴作垂线，交于点S、K，连接A、L，

点B坐标为（3，3）则：四边形OSBK为正方形，

∵∠MBO＝∠ABO，BO是正方形OSBK的对角线，BO＝BO，

∴△BOL≌△BOA（AAS），

∴OA＝OL＝2，∴AL⊥BO，

sinα＝＝＝，则cosα＝，tanα＝ ，

∵OL∥BS，∴，即：，

则：ON＝6；

②则点N坐标为（﹣6，0），

把点L（0，2）、N坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，

解得：y＝x+2…②，

联立①、②解得：x＝﹣3或3（舍去3）

即点M坐标为（﹣3，1），

BC所在的直线的表达式为：y＝x…③，

联立①、③解得：x＝﹣或3（舍去3），

则点C坐标为（﹣，﹣），

则：OM＝ ，OB＝3 ，OC＝ ，MB＝2

当△POC∽△MOB时，点P的位置可能第二象限也可能在第四象限，

当点P在第二象限时，如下图，过点P作PH⊥x轴，

△POC∽△MOB，∠PCO＝∠MBO＝α，

∴＝=，即：＝ ，

解得：OP＝ ，PC═ ，

AB所在直线表达式中的k值为3，

∵∠PCO＝∠MBO＝∠OBA＝α，

∴PC所在直线表达式中的k值为3，

则：PC所在的直线表达式为：y＝3x+ ，

令y＝0，则x＝﹣，

即Q点坐标为（﹣，0），即：OQ＝，

则：CQ＝ ，则：PQ＝PC﹣CQ，

而PH2＝OP2﹣OH2＝PQ2﹣QH2＝PQ2﹣（OQ﹣OH）2，

其中，OP＝ ，PQ＝PC﹣CQ，OQ＝，

解得：OH＝，

则点P坐标为（﹣，），

当点P在第四象限时，同理可求点P坐标为，

故点P坐标为或．