Question

如图，点P是▱ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交AD于点F，交CD的延长线于点G，已知．

（1）求的值．

（2）若四边形ABCD是菱形．

①求证：△APB≌△APD；

②若DP的长为6，求GF的长．

Answer

（1） ；（2）①见解析，②5

【解析】

（1）由题意可得AD=BC，AD∥BC，根据题意可设DF=x，则AF=2x，即AD=BC=3x，由平行线分线段成比例可求＝＝＝；

（2）①由菱形的性质可得AB=AD，∠DAP=∠BAP，可证：△APB≌△APD；

②由题意可求FP=4，且＝＝，可求GF的长．

【解析】

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD＝BC，AD∥BC

∵＝．

∴设DF＝x，则AF＝2x

∴AD＝3x

∴BC＝AD＝3x

∵AD∥BC

∴＝＝＝;

（2）①∵四边形ABCD是菱形

∴AC平分∠BAD，

AB＝AD

∴∠DAP＝∠BAP

又AP＝AP

∴△APB≌△APD（SAS）

②【解析】
∵△APB≌△APD

∴DP＝BP＝6

∵=,

∴FP＝4

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥DC

∴＝＝,

∴=，

∴GF＝5