Question

如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，弧AC=弧BD，AE与弦CD的延长线垂直，垂足为E．

（1）求证：AE与半圆O相切；

（2）若DE=2，AE=，求图中阴影部分的面积

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

从问题入手，根据切线的判定可知，要证明AE与半圆O相切，必须证明AE⊥AB, 由已知条件：AE与弦CD的延长线垂直，进而须证明，联想证平行的办法与弧建立联系；

作辅助线，构建直角三角形，先由勾股定理可得：,由直角三角形斜边中线的性质求得：ED=EF=DF=2, 则△DEF是等边三角形，再求得△AOD是等边三角形，根据面积差可得阴影部分的面积．

（1）证明：连接AC，

（2）【解析】
连接AD，取AD的中点F，连接EF、OD，

∵F是AD的中点，

∴ED=EF=DF=2，

∴△DEF是等边三角形，

∴∠EDA=60°，

由（1）知：AB∥CF

∴∠DAO=∠EDA=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，OA=AD=4，