Question

已知，，，是的中点，是平面上的一点，且，连接.

（1）如图，当点在线段上时，求的长；

（2）当是等腰三角形时，求的长；

（3）将点绕点顺时针旋转得到点，连接，求的最大值．

Answer

(1)2;(2)见解析;(3) .

【解析】

（1）根据勾股定理求出AB的长，由直角三角形斜边中线的性质可求出CD的长，利用勾股定理求出PC的长即可；（2）由DP=1可知点P在以D为圆心，1为半径的圆上，分别讨论、、的情况，求出PC的长即可；（3）由旋转性质可知，，可得，由等腰直角三角形的性质可知，进而可证明∽，即可得，利用三角形三边关系即可得答案.

（1）如图1中，连接．

在中，，，

∴，

∵，

∴，，

在中，．

（2）如图2中，∵，

∴点在以点为圆心的⊙上．

①当时，

∵，

∴都在线段的垂直平分线上，设直线交于．

∴，，

∵，

∴，

在中，，

当在线段上时，，，

当在线段的延长线上时，，．

②当时，∵，

∴，此种情形不存在；

③当时，同理这种情形不存在；

如图3中

（3）如图4中，连接．

由旋转可知：，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∵，

∴点落在的延长线与⊙的交点处，的值最大，

∴．

∴的最大值为．