Question

如图，在△ABC中，AB=3+,∠B=45°，∠C=105°，点 D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为___________ 。

Answer

【解析】

如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．由四边形ADEF是菱形，推出F，D关于直线AE对称，推出PF=PD，推出PF+PB=PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是线段BD的长．

如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．

∵四边形ADEF是菱形，

∴F，D关于直线AE对称，

∴PF=PD，

∴PF+PB=PA+PB，

∵PD+PB≥BD，

∴PF+PB的最小值是线段BD的长，

∵∠CAB=180°-105°-45°=30°，设AF=EF=AD=x，则DH=EG=x，FG=x，

∵∠EGB=45°，EG⊥BG，

∴EG=BG=x，

∴x+x+x=3+，

∴x=2，

∴DH=1，BH=3，

∴BD==，

∴PF+PB的最小值为，

故答案为：．