Question

定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180°得到的抛物线我们称为原抛物线的“孪生抛物线”.

（1）求抛物线y=x²-2x的“孪生抛物线”的表达式；

（2）若抛物线y=x²-2x+c的顶点为D，与y轴交于点C，其“孪生抛物线”与y轴交于点，请判断△DCC’的形状，并说明理由：

（3）已知抛物线y=x²-2x-3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，那么是否在其“孪生抛物线”上存在点P，在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer

（1）y=-（x-1）²=-x²+2x-2;（2）等腰Rt△，（3）P1（3，-8），P2（-3，-20）.

【解析】

（1）当抛物线绕其顶点旋转180°后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式；

（2）可分别求出原抛物线和其“孪生抛物线”与y轴的交点坐标C、C′，由点的坐标可知△DCC’是等腰直角三角形；

（3）可求出A（3，0），C（0，-3），其“孪生抛物线”为y=-x2+2x-5，当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在，当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标．

（1）抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=（x-1）2-1，顶点坐标为（1，-1），由于抛物线y=x2-2x绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，

则所得抛物线解析式为y=-（x-1）2-1=-x2+2x-2；

（2）△DCC'是等腰直角三角形，理由如下：

∵抛物线y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，

∴抛物线顶点为D的坐标为（1，c-1），与y轴的交点C的坐标为（0，c），

∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2+c-1，与y轴的交点C’的坐标为（0，c-2），

∴CC'=c-（c-2）=2，

∵点D的横坐标为1，

∴∠CDC'=90°，

由对称性质可知DC=DC’，

∴△DCC'是等腰直角三角形；

（3）∵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C，与x轴正半轴的交点为A，

令x=0，y=-3，令y=0时，y=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=3，

∴C（0，-3），A（3，0），

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴其“孪生抛物线”的解析式为y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5，

若A、C为平行四边形的对角线，

∴其中点坐标为(，−)，

设P（a，-a2+2a-5），

∵A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

∴Q（0，a-3），

∴＝−，

化简得，a2+3a+5=0，△＜0，方程无实数解，

∴此时满足条件的点P不存在，

若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，则AP∥CQ且AP=CQ，

∵点C和点Q在y轴上，

∴点P的横坐标为3，

把x=3代入“孪生抛物线”的解析式y=-32+2×3-5=-9+6-5=-8，

∴P1（3，-8），

若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ∥CP且AQ=CP，

∴点P的横坐标为-3，

把x=-3代入“孪生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20，

∴P2（-3，-20）

∴原抛物线的“孪生抛物线”上存在点P1（3，-8），P2（-3，-20），在y轴上存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．