Question

问题探究

（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连接AD、BE,求的值；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A作AM⊥AB，点P是射线AM上一动点，连接CP，做CQ⊥CP交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值；

（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4cm，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值。

图3

Answer

（1）;（2）;（3）+.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得BC=3，CE=，∠ACB=∠DCE=45°，可证△ACD∽△BCE，可得＝；

（2）由题意可证点A，点Q，点C，点P四点共圆，可得∠QAC=∠QPC，可证△ABC∽△PQC，可得，可得当QC⊥AB时，PQ的值最小，即可求PQ的最小值；

（3）作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，由题意可证△ABC∽△DEC，可得，且∠BCE=∠ACD，可证△BCE∽△ACD，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE，DF，BF的长，由三角形三边关系可求BD的最大值．

（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，

∴BC=3，CE=，∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠BCE=∠ACD，

∵＝＝，＝，

∴＝，∠BCE=∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝；

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，

∴AC=，AB=2AC=，

∵∠QAP=∠QCP=90°，

∴点A，点Q，点C，点P四点共圆，

∴∠QAC=∠QPC，且∠ACB=∠QCP=90°，

∴△ABC∽△PQC，

∴，

∴PQ=×QC=QC，

∴当QC的长度最小时，PQ的长度最小，

即当QC⊥AB时，PQ的值最小，

此时QC=2，PQ的最小值为；

（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，

，

∵∠ADC=90°，AD=CD，

∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，

∴△ABC∽△DEC，

∴，

∵∠DCE=∠ACB，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，

∴∠BEC=∠ADC=90°，

∴CE=BC=2，

∵点F是EC中点，

∴DF=EF=CE=，

∴BF==，

∴BD≤DF+BF=+