Question

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，

（1）若AB＝6，AE＝CF，点E为AD的中点，连接AE，BF．

①如图1，求证：BE＝BF＝3；

②如图2，连接AC，分别交AE，BF于M，M，连接DM，DN，求四边形BMDN的面积．

（2）如图3，过点D作DH⊥BE，垂足为H，连接CH，若∠DCH＝22.5°，则的值为　   　（直接写出结果）．

Answer

（1）①详见解析；②12；（2）.

【解析】

（1）①先求出AE＝3，进而求出BE，再判断出△BAE≌△BCF，即可得出结论；

②先求出BD＝6，再判断出△AEM∽△CMB，进而求出AM＝2，再判断出四边形BMDN是菱形，即可得出结论；

（2）先判断出∠DBH＝22.5°，再构造等腰直角三角形，设出DH，进而得出HG，BG，即可得出BH，结论得证．

【解析】
（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，

∵点E是中点，

∴AE＝AD＝3，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝3，

在△BAE和△BCF中，

∴△BAE≌△BCF（SAS），

∴BE＝BF，

∴BE＝BF＝3；

②如图2，连接BD，

在Rt△ABC中，AC＝AB＝6，

∴BD＝6，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴△AEM∽△CMB，

∴，

∴，

∴AM＝AC＝2，

同理：CN＝2，

∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2，

由①知，△ABE≌△CBF，

∴∠ABE＝∠CBF，

∵AB＝BC，∠BAM＝∠BCN＝45°，

∴△ABM≌△CBN，

∴BM＝BN，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴AB＝AD，∠BAM＝∠DAM＝45°，

∵AM＝AM，

∴△BAM≌△DAM，

∴BM＝DM，

同理：BN＝DN，

∴BM＝DM＝DN＝BN，

∴四边形BMDN是菱形，

∴S四边形BMDN＝BD×MN＝×6×2＝12；

（2）如图3，设DH＝a，

连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∵DH⊥BH，

∴∠BHD＝90°，

∴点B，C，D，H四点共圆，

∴∠DBH＝∠DCH＝22.5°，

在BH上取一点G，使BG＝DG，

∴∠DGH＝2∠DBH＝45°，

∴∠HDG＝45°＝∠HGD，

∴HG＝HD＝a，

在Rt△DHG中，DG＝HD＝a，

∴BG＝a，

∴BH＝BG+HG＝A+A＝（+1）a，

∴．

故答案为：．