Question

如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，

（1）如图2中A′落在ED′上，求∠FEG的度数；

（2）如图3中∠A′ED′＝50°，求∠FEG的度数；

（3）如图4中∠FEG＝85°，请直接写出∠A′ED′的度数；

（4）若∠A′ED'＝n°，直接写出∠FEG的度数（用含n的代数式表示）．

Answer

（1）∠FEG＝90°；（2）∠FEG＝115°；（3）∠A′ED′＝10°；（4）∠FEG的度数为或．

【解析】

（1）由翻折性质知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，据此得∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，结合∠AEA′+∠DED′＝180°可得答案；

（2）由∠A′ED′＝50°知∠AEA′+∠DED′＝130°，据此得∠A′EF+∠D′EG＝×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，根据∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG可得答案；

（3）由∠FEG＝85°知∠A′EF+∠D′EG＝95°，根据∠A′ED′＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠FEG可得答案；

（4）分别结合图3和图4两种情况，先表示出∠A′EF+∠D′EG的度数，再分别根据∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′和∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′求解可得．

【解析】
（1）由翻折知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，

∴∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，

∵∠AEA′+∠DED′＝180°，

∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG＝（∠AEA′+∠DED′）＝90°；

（2）由（1）知∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，

∵∠A′ED′＝50°，

∴∠AEA′+∠DED′＝130°，

∴∠A′EF+∠D′EG＝×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，

∴∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG＝115°；

（3）∵∠FEG＝85°，

∴∠AEF+∠DEG＝95°，

∴∠A′EF+∠D′EG＝95°，

则∠A′ED′＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠FEG＝95°﹣85°＝10°；

（4）如图3，∵∠A′ED′＝n°，

∴∠AEA′+∠DED′＝180°﹣∠A′ED′＝（180﹣n）°，

∵2∠A′EF＝∠AEA′，2∠D′EG＝∠DED′，

∴∠A′EF+∠D′EG＝，

∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′＝+n°＝；

见图4，∵∠AEA′+∠DED′﹣∠A′ED′＝180°，∠A′ED′＝n°，

∴∠AEA′+∠DED′＝180°+n°，

∵2∠A′EF＝∠AEA′，2∠D′EG＝∠DED′，

∴∠A′EF+∠D′EG＝，

∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′＝﹣n°＝；

综上，∠FEG的度数为或．