Question

如图，为的直径，点在上，延长至点，使，延长与的另一个交点为，连接，．

求证：；

若，，求的长．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D，根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出结论；

（2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长．在△DCE中，根据等角对等边得到CD=CE，即可得出结论．

（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．

又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D．

∵∠E=∠B，∴∠E=∠D．

（2）设BC=x，则AC=x﹣2．在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∴BC=1+．

∵∠D=∠E，∴CD=CE．

∵CD=CB，∴CE=CB=1+．