Question

如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点点P不与A，B重合，分别连接PD，PC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把P叫四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把P叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点“．

解决问题

如图，，试判断点P是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．

如图，在四边形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格网格中每个小正方形的边长为的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出四边形ABCD的边BC上的相似点，并写出对应的相似三角形；

如图，在四边形ABCD中，，，，点P在边BC上，若点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，求BP的长．

Answer

结论：点P是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由见解析；（2）画出四边形ABCD的边BC上的相似点，见解析；∽，∽；．

【解析】

结论：点P是四边形ABCD的边AB上的相似点，根据相似点的定义判断即可．

分两种情形分别求解即可．

取AD的中点O，作，垂足为则点P为所求，连接AP，证明点P是强相似点，求出AE即可解决问题．

：结论：点P是四边形ABCD的边AB上的相似点，

理由：如图中，

，

．

．

，

，

，

∽，

点P是四边形ABCD的边AB上的相似点．

如图中，作，交边BC于点，则点为所求，此时∽：

作点A关于直线BC的对称点A’：连接DA’，交BC于点，

则点为所求，此时∽，

取AD的中点O，作，垂足为则点P为所求，连接AP，DP．

，，

，

作，则四边形ABCE，ABPF，FPCE均为矩形，

，，

是的中位线，

，

．

，，

，

，

．

同理可证：，

，

∽∽，

点P是四边形ABCD的边BC上的一个强相似点，

在中，．

，

．