Question

阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷的值．

【解析】
设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷，

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁸

将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁸-1即S=2²⁰¹⁸-1

即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷=2²⁰¹⁸-1

请你仿照此法计算：

(1)1+2+2²+2³+…+2⁹=_____；

(2)1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ(其中n为正整数)；

(3)1+2×2+3×2²+4×2³+…+9×2⁸+10×2⁹．

Answer

(1)210-1；(2)；(3)9×210+1．

【解析】

（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+2+22+23+…+29的值；

（2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到1+5+52+53+54+…+5n的值．

（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．

【解析】
（1）设S=1+2+22+23+…+29，

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+22+23+24+…+29+210，

将下式减去上式得2S-S=210-1，即S=210-1，

即1+2+22+23+…+29=210-1．

故答案为：210-1；

（2）设S=1+5+52+53+54+…+5n，

将等式两边同时乘以5得：

5S=5+52+53+54+55+…+5n+5n+1，

将下式减去上式得5S-S=5n+1-1，即S=，

即1+5+52+53+54+…+5n=；

（3）设S=1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29，

将等式两边同时乘以2得：

2S=2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210，

将上式减去下式得-S=1+2+22+23+…+29+10×210，

-S=210-1-10×210，

S=9×210+1，

即1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29=9×210+1．