Question

等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，将该三角形在直角坐标系中放置．

（1）如图（1），过点A作AD⊥x轴，当B点为（0，1），C点为（3，0）时，求OD的长；

（2）如图（2），将斜边顶点A、B分别落在y轴上、x轴上，若A点为（0，1），B点为（4，0），求C点坐标；

Answer

（1）4；（2）（）

【解析】

（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝1，即可求OD的长；

（2）过点C作CF⊥y轴，CE⊥x轴，通过证明△ACF≌△BCE，可得BE＝AF，CF＝CE，可证四边形CEOF是正方形，可得CF＝OE＝OF＝CE，即可求点C坐标．

【解析】
（1）∵B点为（0，1），C点为（3，0）

∴OB＝1，OC＝3

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCO+∠ACD＝90°，且∠BCO+∠OBC＝90°

∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

∴CD＝OB＝1

∴OD＝OC+CD＝4

（2）如图，过点C作CF⊥y轴，CE⊥x轴，

∵A点为（0，1），B点为（4，0），

∴AO＝1，BO＝4

∵CF⊥y轴，CE⊥x轴，∠AOB＝90°，

∴四边形CEOF是矩形，

∴∠ECF＝90°，

∴∠FCA+∠ACE＝90°，且∠ACE+∠BCE＝90°，

∴∠FCA＝∠BCE，且AC＝BC，∠CFA＝∠CEB＝90°，

∴△ACF≌△BCE（AAS）

∴BE＝AF，CF＝CE，

∴矩形CEOF是正方形

∴CF＝OE＝OF＝CE，

∴OA+AF＝OB﹣BE

∴2AF＝OB﹣OA

∴AF＝

∴OF＝

∴点C（，）