Question

（问题背景）在△ABC内部，有地点，可构成3个不重叠的小三角形（如图1）

（探究发现）当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况。

（1）填表：

三角形内点的个数n	1	2	3	4	……
不重叠三角形个数S					……

（2）当△ABC内部有2019个点（，……）时，三角形内不重叠的小三角形的个数S为多少？

Answer

（1）3,5,7,9；

（2）4039.

【解析】

根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，不重叠的小三角形的个数增加2个，根据此规律写出当△ABC内部有m个点时，三角形内不重叠的小三角形的个数为3+2（m-1），然后计算即可.

（1）当△ABC内部有1个点时，三角形内不重叠的小三角形的个数为：3=3+2（1-1），

当△ABC内部有2个点时，三角形内不重叠的小三角形的个数为：5=3+2（2-1），

当△ABC内部有3个点时，三角形内不重叠的小三角形的个数为：7=3+2（3-1），

当△ABC内部有4个点时，三角形内不重叠的小三角形的个数为：9=3+2（4-1），

…，

所以，当△ABC内部有m个点时，三角形内不重叠的小三角形的个数为：3+2（m-1）.

故表中应依次填：3,5,7,9；

（2）由（1）可得：当m=2019时，3+2×（2019-1）=4039（个），

答：当△ABC内部有2019个点（P1，P2……P2019）时，三角形内不重叠的小三角形的个数S为4039.