Question

如图1，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F。

（1）当∠ABC=∠C=60°时，，那么；（直接写出结论）

（2）当△ABC为等边三角形，时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并说明理由；

（3）如图2，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AC=，点E在BC上，点D是AE的中点，当∠EDC=30°时，CE和DE的数量关系为。（直接写出结论，不必证明）

Answer

（1）1；

（2）；

（3）CE= DE.

【解析】

（1）根据题意可先证明△ABC是等边三角形，AE和BD是三角形的中线，由等边三角形的性质可得∠BAE=∠ABD =30°，从而得到AF=BF，继而可求；

（2）根据题意可设设AF=x，BF=y,AB=BC=AC=n，AD=CE=1，由题意可证明△ABD≌△CAE，从而可设BD=AE=m，然后根据题意可证明△ADF∽△BDA，△BFE∽△BCD，由相似的性质可得和，即和，继而可求AF与BF的关系；

（3）由题意可先证明△CDE∽△ECA，再由相似的性质可得CE2=AE∙DE=2DE2，从而可得CE=DE.

【解析】
（1）如图：

∵∠ABC=∠C=60°，

∴△ABC是等边三角形，

又∵ 且AD=CE，

∴BE=EC，AD=CD，

∴∠BAE=∠BAC=30°，∠ABD=∠ABC=30°，

∴∠FAB=∠FBA，

∴AF=BF，

∴=1；

（2）如下图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAD=∠C=60°，

在△ABD和△CAE中 ，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠DAF=∠ABD，

∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°，

设AF=x，BF=y,AB=BC=AC=n，AD=CE=1，

∵△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，∠ DAF=∠ABD，设BD=AE=m，

∵∠ADF=∠BDA，

∴△ADF∽△BDA，

∴ ,

∴ ①，

∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠C=60°，

∴△BFE∽△BCD，

∴ ,

∴ ②，

① ÷②，得即 ；

（3）CE=DE.

证明：∵点D是AE的中点，

∴AE=2DE，

∵∠EDC=30°=∠ACB,∠DEC=∠CEA，

∴△CDE∽△ECA，

∴，

∴CE2=AE∙DE=2DE2，

∴CE=DE.