Question

如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d₁，d₂，则d₁²+d₂²的最小值是3．其中正确的结论是____(填写正确结论的序号)．

Answer

①③④

【解析】

根据中点的性质得到AD＝BD，根据等边三角形的性质得到AD＝CD，∠ADC=∠ACD=60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°，根据等量代换有CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠DCB＝30°，即可判断①②③，根据勾股定理可知d12+d22＝MN2＝CP2，根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小，即可判断④.

∵D是AB中点

∴AD＝BD

∵△ACD是等边三角形，E是AD中点

∴AD＝CD，∠ADC=∠ACD =60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°

∴CD＝BD

∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB

∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝

故①③正确，②错误

∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°

∴∠ACB＝90°

若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，

∴四边形PMCN是矩形

∴MN＝CP

∵d12+d22＝MN2＝CP2

∴当CP为最小值，d12+d22的值最小

∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小

此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB

∴CP＝,

∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3

即d12+d22的最小值为3

故④正确

故答案为①③④