Question

如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过C（﹣3，0）向x轴下方作CD垂直x轴，连接AD，已知CD＝4，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点D落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点D第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点，试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝x2﹣6x+5；（2）m＝6；（3）存在，Q（1，0），见解析.

【解析】

（1）由交点式可求解析式；

（2）由题意可得D（﹣3，﹣4），当y＝﹣4时，求出x＝3，即平移距离m＝3﹣（﹣3）＝6；

（3）由题意可得E（3，﹣4）是顶点坐标，则只有一种情况使Q，P，E，B是平行四边形，此时Q，B关于对称轴对称，可求Q点坐标．

（1）根据题意得：y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5；

（2）∵C（﹣3，0），CD＝4，

∴D（﹣3，﹣4），

∴当y＝﹣4时，﹣4＝x2﹣6x+5，

∴x＝3，

∴平移距离m＝3﹣（﹣3）＝6；

（3）如图，

∵抛物线y＝x2﹣6x+5，

∴顶点坐标为（3，﹣4），

∴E（3，﹣4）是顶点坐标，

∵四边形QEBP是平行四边形，

∴Q，B关于对称轴直线x＝3对称，（B（5，0），

∴Q（1，0）.