Question

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．

（1）求AO的长；

（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝ AM；

（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．

Answer

（1）、5；（2）、证明过程见解析；（3）、3

【解析】

试题（1）、在RT△OAB中，利用勾股定理OA=求解；（2）、由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，在Rt△ACM中tan∠M=，求出AC；（3）、求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF==，得出△AFM的周长为3．

试题解析：（1）、∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=BD，

∵BD=24，

∴OB=12，

在Rt△OAB中，

∵AB=13，

∴OA==5．

（2）、如图2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

由已知AF=AM，∠MAF=60°，

∴△AFM为等边三角形，

∴∠M=∠AFM=60°，

∵点M，F，C三点在同一条直线上，

∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，

∴∠FAC=∠FCA=30°，

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，

在Rt△ACM中∵tan∠M=，

∴tan60°=，

∴AC=AM．

（3）、如图，连接EM，

∵△ABE是等边三角形，

∴AE=AB，∠EAB=60°，

由（2）知△AFM为等边三角形，

∴AM=AF，∠MAF=60°，

∴∠EAM=∠BAF，

在△AEM和△ABF中，，

∴△AEM≌△ABF（SAS），

∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO

∴BF•AO=40，BF=16，

∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4

AF==，

∴△AFM的周长为3．