Question

已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A，，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转得到线段BD，抛物线、经过点D．

如图1，若该抛物线经过原点O，且．

求点D的坐标及该抛物线的解析式；

连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得与互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足与互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围______．

Answer

(1)①D（﹣3，1），抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x；②存在，点P的坐标为：P（﹣，）或（﹣，﹣）；(2)a＜﹣或a＞1+或﹣＜a＜1-．

【解析】

（1）①为A （0，2），B（-1，0），BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，把原点坐标、点D坐标、a=-1代入抛物线方程，即可求解；

②如下图所示，∠QOB与∠BCD互余，直线OP的方程为y=-x，将直线方程与抛物线方程联立即可求解，当P在x轴上方时，用同样的方法可以求解；

（2）把D、E坐标代入抛物线方程，解得：y=ax2+4ax+（3a+1），①当a＜0时，若符合条件的Q点的个数是4个，则Q点在x轴上下各2个，则3a+1＜0，然后分Q在x轴上方和x轴下方时两种情况即可求解，同样可以求出a＞0的情况．

(1)为A （0，2），B（﹣1，0），

①点C为线段AB的中点，则C（-，1），

BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，

则D（﹣3，1），∴DC∥x轴，

把原点坐标、点D坐标、a＝﹣1代入抛物线方程，

解得：抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x…①；

②如下图所示，∠QOB与∠BCD互余，

当P在x轴上方时，OP⊥AB，

直线AB的k值为2，则直线OP的k值为﹣，

直线OP的方程为y＝﹣x…②，

①、②联立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，

则点P（﹣， ）；

当P在x轴上方时，

直线OP的方程为y＝x…③，

①、③联立并整理得：x＝0（舍去），x＝﹣，

则P′（﹣，﹣）；

故：存在，点P的坐标为：P（﹣，）或（﹣，﹣）；

(2)把D、E坐标代入抛物线方程，

解得：y＝ax2+4ax+（3a+1）…④，

函数与y轴交点的纵坐标为：3a+1

有(2)知：当Q在x轴上方时，OQ的方程为：y＝﹣x…⑤，

当Q在x轴下方时，OQ的方程为：y＝x…⑥，

①当a＜0时，若符合条件的Q点的个数是4个，则Q点在x轴上下各2个，则3a+1＜0，即：，

Q在x轴上方时，联立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+＞0，即：必定有2个Q点，

Q在x轴下方时，联立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，

故：a＜﹣；

②当a＜0时，若符合条件的Q点的个数是4个，则Q点在x轴上下各2个，则3a+1＞0，即：a＞﹣，

Q在x轴上方时，联立④、⑤得：-x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2+＞0，即：必定有2个Q点，

Q在x轴下方时，联立④、⑥得：x＝ax2+4ax+（3a+1），△＝4a2﹣8a+＞0，a＞1+或a＜1﹣，

故：a＞1+或﹣＜a＜1-．

综上所述：a＜﹣或a＞1或﹣＜a＜1-．