Question

如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON=5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数；

（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．

（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过___________秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）

Answer

（1）105°；（2）MN∥BC，135°；（3）15秒或51秒；（4）9.

【解析】

试题（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；

（2）求出MN⊥OD，然后根据同位角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；

（3）分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．

（4）求出旋转的角度差，再根据时间=旋转角差÷速度差计算即可得解．

试题解析：（1）在△CEN中，∠CEN=180°-30°-45°=105°；

（2）如图②，∵∠CON=5∠DOM

∴180°-∠DOM=5∠DOM，

∴∠DOM=30°

∵∠OMN=60°，

∴MN⊥OD，

∴MN∥BC，

∴∠CEN=180°-∠DCO=180°-45°=135°；

（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°-（60°-45°）=75°，

或270°-（60°-45°）=255°，

所以，t=75°÷5°=15秒，

或t=255°÷5°=51秒；

所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．

（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，

所以90°÷（20°-10°）=9秒.