Question

如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，∠C=90°，以 AB 为直径的圆O交 AD 于点 E，CD=ED，连接 BD 交圆O于点 F.

（1）求证：BC 与圆O相切.

（2）若 BD=10，AB=13，求 AE 的长.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

(1)连接BE，可证明Rt△BCD≌Rt△BED，结合条件可证明∠BDC＝∠ABD，可证得AB∥CD,最后看单词结果;(2)连接EF，根据圆周角定理得出∠AFB＝90°，在Rt△ABF中根据勾股定理得出BF＝5，然后由Rt△ABF∽Rt△BDC，ED＝ ，从而求出AE的长.

（1）证明：连接BE．

∵ AB是直径，

∴∠AEB＝90°．

在Rt△BCD和Rt△BED 中

∴Rt△BCD≌Rt△BED．

∴∠ADB＝∠BDC．

又 AD＝AB，

∴∠ADB＝∠ABD．

∴∠BDC＝∠ABD．

∴AB∥CD．

∴∠ABC＋∠C＝180°．

∴∠ABC＝180°－∠C＝180°―90°＝90°．

即BC⊥AB．

又B在⊙O上，

∴BD与⊙O相切．

（2）【解析】
连接AF．

∵AB是直径，

∴∠AFB＝90°，即AF⊥BD．

∵AD＝AB，BC＝10，

∴BF＝5．

在Rt△ABF和Rt△BDC中

∴Rt△ABF∽Rt△BDC．

∴＝．

∴＝．

∴DC＝．

∴ED＝．

∴AE＝AD―ED＝13―＝．