Question

如图，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，，垂足为点E，，垂足为点F．

发现问题：在图中，的值为______．

探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角，如图所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论．

解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图所示，延长CG交AD于点H；若，，直接写出BC的长度．

Answer

（1）；（2），证明见详解；（3）.

【解析】

由正方形的性质可得，，可证，，可得，由平行线分线段成比例可得；

由正方形的性质可得，即可证∽，可得，则；

过点H作于点M，构造等腰，利用HG的长度分别求出HM，GM，AH的长度，再利用与相似即可求出AC的长度，进一步求出BC的长度．

【解析】
四边形ABCD是正方形，

，，

，

，，

，

，

，

，

故答案为：；

，

理由如下：

如图，四边形ABCD，四边形GECF是正方形，

，，

，，

，

，，

，且，

∽，

，

  即，

如图，过点H作于点M，

四边形ABCD，四边形GECF是正方形，

，，

，

为等腰直角三角形，

，

，

在中，

，

，且

∽

，

即，

，

在中，

，

的长度为．

故答案为：（1）；（2），证明见详解；（3）.