Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）求证：△PCF是等腰三角形；

（3）若AF=6，EF=2，求⊙O的半径长．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）4

【解析】

（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；

（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；

（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6-r，根据勾股定理列方程即可得到结论．

（1）证明：∵PD为⊙O的切线，

∴OC⊥DP，

∵AD⊥DP，

∴OC∥AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OAC=∠DAC，

∴AC平分∠DAB；

（2）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=45°，

∴∠BOE=2∠BCE=90°，

∴∠OFE+∠OEF=90°，

而∠OFE=∠CFP，

∴∠CFP+∠OEF=90°，

∵OC⊥PD，

∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，

而∠OCF=∠OEF，

∴∠PCF=∠CFP，

∴△PCF是等腰三角形；

（3）【解析】
连结OE．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，

∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，

设⊙O 的半径为r，则OF=6-r，

在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，

∴r2+（6-r）2=（2）2，

解得，r1=4，r2=2，

当r1=4时，OF=6-r=2（符合题意），

当r2=2时，OF=6-r=4（不合题意，舍去），

∴⊙O的半径r=4．