Question

如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点.

(1）求 m的值；

( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；

( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积S₁，是四边形OACD 面积S的?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）抛物线的解析式为；（3），

【解析】

（1）由于反比例函数的图象都经过点A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值；

（2）由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）如图，利用（1）（2）知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为x，那么利用x可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的即可列出关于x的方程，利用方程即可解决问题．

（1）∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），

∴经过点A的反比例函数解析式为：y=，

而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），

∴m=；

（2）∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），

与x轴、y轴分别交于C、D两点，

而这些OA的解析式为y=x，

设直线CD的解析式为y=x+b，

代入B的坐标得：=6+b，

∴b=-4.5，

∴直线OC的解析式为y=x-4.5，

∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，-4.5），

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

分别把A、B、D的坐标代入其中得：

，

解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5

∴y=-x2+4x-；

（3）如图，设E的横坐标为x，

∴其纵坐标为-0.5x2+4x-4.5，

∴S1=（-0.5x2+4x-4.5+OD）×OC，

=（-0.5x2+4x-4.5+4.5）×4.5，

=（-0.5x2+4x）×4.5，

而S=（3+OD）×OC=（3+4.5）×4.5=，

∴（-0.5x2+4x）×4.5=×，

解之得x=4±，

∴这样的E点存在，坐标为（4-，），（4+，）．