Question

如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．

（1）求证：MD＝MN；

（2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析.

【解析】

（1）要证MD=MN，就要构建△DFM≌△MBN，只需取AD的中点F，连接FM，依据正方形的性质可证
（2）只需作AF=AM，其余证法与1同．

【解析】
(1)证明：取AD的中点F，连接MF.

∵四边形ABCD是正方形，M是AB的中点，

∴∠A＝∠ABC＝90°，DF＝AF＝AM＝MB，

∴∠AFM＝45°.

又∵BN平分∠CBE，

∴∠EBN＝45°，

∴∠EBN＝∠AFM，

∴∠DFM＝∠MBN.

又∵∠FDM＋∠DMA＝90°，

∠BMN＋∠DMA＝90°，

∴∠FDM＝∠BMN，

∴△FDM≌△BMN，∴MD＝NM.

(2)结论“MD＝NM”仍然成立．

理由：与(1)类似，在AD上截取DF＝MB，连接M.

易得∠FDM＝∠BMN，∠DFM＝∠MBN，

从而△FDM≌△BMN，∴MD＝NM.