Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，BC＝()AD， 以AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC＝______.

Answer

75°或165°

【解析】

过点A作AF∥CD交于F，可得四边形AFCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得AD=FC,AF=CD，再求出BF，根据勾股定理逆定理判定△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ABF=45°，根据平行线的性质求出∠BAD=135°，然后分①点E在AD上方，根据周角等于360°求出∠BAE，根据等腰三角形的性质求出∠ABE，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②点E在AD下方，求出∠BAE,再根据等腰三角形的性质求出∠ABE，然后求出∠CBE，再利用三角形的内角和列式计算即可.

在等腰梯形ABCD中，AB=CD，

过点A作AF∥CD交BC于F，

∵AD∥BC，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD=FC,AF=CD

∵AB＝AD，BC＝()AD，

∴BF=BC-FC=()AD-AD=AD，

在△ABF中，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴∠ABF=45°

∵AD∥BC，

∴∠BAD=180°-∠ABF=135°

于是①如图1，等边三角形ADE的顶点E在AD的上方时，

∠BAE=360°-60°-135°=165°

∵AB=AD=AE，

∴∠ABE=（180°-165°）=7.5°

∴∠CBE=∠ABF+∠ABE=45°+7.5°=52.5°，

同理得∠BCE=52.5°

∴∠BEC=180°-52.5°×2=75°

另②如图2，等边三角形ADE的顶点E在AD的下方时，

∠BAE=∠BAD-∠DAE=135°-60°=75°

∵AB=AD=AE，

∴∠ABE=（180°-75°）=52.5°

∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=45°+7.5°=7.5°，

∴∠BEC=180°-7.5°×2=165°

故答案为75°或165°