Question

如图，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的边ND上的中线．

(1)求证：AB=DN；

(2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(3)若PC＝5，CD＝8，求线段MN的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)CP是⊙O的切线，证明见解析.(3).

【解析】

(1)由 AB为⊙O的直径，∠ACB=90°=∠NCD ，再根据角的等量替换得出∠A =∠D

再根据AC=CD，可得△ABC≌△DNC，即可得到AB=DN ；（2）连结OC，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到PC=PN=，再得到∠ACO＋∠PCN =90°，故∠PCO =90°，即可证明；（3）先得到DN=2PC=10，再利用勾股定理计算出CN=6，由AC=CD=8得到AN-AC-CN=2，再利用sinA=，即可求出MN的长度.

【解析】
(1)证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°=∠NCD

∵DM⊥AB，

∴∠AMN=90°，

∴∠ABC＋∠A =∠ABC＋∠D =90°

∴∠A =∠D

又∵AC=CD，∠ACB=∠NCD

∴△ABC≌△DNC

∴AB=DN

(2)CP是⊙O的切线．

证明：连结OC

∵CP是△CDN的边ND上的中线，∠NCD=90°

∴PC=PN=

∴∠PCN =∠PNC

∵∠ANM=∠PNC

∴∠ANM=∠PCN

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO

∵∠A＋∠ANM =90°

∴∠ACO＋∠PCN =90°

∴∠PCO =90°

∴CP是⊙O的切线

(3)∵PC＝5

∴DN=2PC=10

∵△ABC≌△DNC

∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10

∴

∴AN=AC-CN=2

∵sinA=

∴

∴