Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．

(1)证明：△AC C′∽△AB B′；

(2)设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时AC＝BF，并说明理由．

Answer

(1)证明见解析；(2)β＝2α时AC＝BF.

【解析】

（1）Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，可得AC＝AC′，AB＝AB′，∠CA C′＝∠B AB′，再根据，即可证明△AC C′∽△AB B′；（2）欲证AC＝BF，需证△AEC≌△FEB，则需证BE＝CE，由已知可证∠BCE＝∠ABC=a，即β＝2α时，△AEC≌△FEB，故得证.

【解析】
(1)证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的

∴AC＝AC′，AB＝AB′，∠CA C′＝∠B AB′

∴

∴△AC C′∽△AB B′

(2)当β＝2α时AC＝BF

证明：∵AC＝AC′

∴∠AC C′＝∠A C′C＝(180°－∠C AC′)＝90°－β＝90°－α

∵∠BCE＝∠ACB－∠A C C′＝90°－(90°－α)＝α

∴∠BCE＝∠ABC

∴BE＝CE

∵∠ACE＝∠ABF，∠AEC＝∠FEB

∴△AEC≌△FEB

∴AC＝BF.