Question

在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；

（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．

Answer

（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）

【解析】

试题（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；

（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最大，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．

试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，

∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴，

∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，

∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°-90°=90°，

∴AE⊥DF；

（2）（1）中的结论还成立，

有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，

，

则；

②如图2，当AE=AC时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，

∴DE=CD=a，

∴CE:CD=2a:a=2；

即CE:CD=或2；

（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是以AD为直径的圆，

如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，

此时CP的长度最大，

∵在Rt△QDC中，

∴，

即线段CP的最大值是.