Question

①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；

②如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．

Answer

①(1)见解析;(2)见解析; ②见解析.

【解析】

①（1）由三角形中位线知识可得EF＝GH，EF∥GH，继而可得四边形EFGH是平行四边形；

（2）要是菱形，只需增加相邻两边相等，如要得到EF＝GF，由中位线知识，只须AB＝CD．

②由FB∥AC，∠ACB＝90°可得∠FBC＝90°，继而可得∠DBA＝45°，通过证明Rt△ADC≌Rt△FBC，可得DB＝FB，继而可证得答案.

①（1）∵E、F分别是AD、BD中点，

∴EF∥AB，EF＝AB，

同理GH∥AB，GH＝AB，

∴EF＝GH，EF∥GH，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD满足AB＝CD时，四边形EFGH是菱形，证明如下：

∵F、G分别是BD、BC中点，∴GF＝CD，

∵AB＝CD，∴EF＝GF，

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形；

②∵∠ACB＝90°，Rt△ADC中，∠1+∠2＝90°，

∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3+∠2＝90°，得：∠1＝∠3，

∵FB∥AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，得：△FBC是直角三角形，

∵AC＝BC，∠1＝∠3，△FBC是直角三角形，

∴Rt△ADC≌Rt△FBC，

∴CD＝FB，∵CD＝DB，∴DB＝FB，

∵AC＝BC、∠ACB＝90°，∴∠4＝45°，∴AB是∠CBF平分线，

所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．