Question

将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF． 

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论

Answer

(1)证明见解析；（2）四边形AECF是菱形，理由见解析.

【解析】试题（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；

（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．

试题解析：（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′，

∠C=∠D′AE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BA D．

∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD，

即∠1+∠2=∠2+∠3．

∴∠1=∠3．

又∠B=∠D′，AB=AD′

∴△ABE≌△AD′F（ASA）．

（2）【解析】
四边形AECF是菱形．

证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠5=∠6．

∴∠4=∠6．

∴AF=AE．

∵AE=EC，

∴AF=EC．

又∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形．

又∵AF=AE，

∴平行四边形AECF是菱形．