Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

Answer

(1)BM+DN=MN成立．(2)DN-BM=MN.

【解析】试题（1）、在MB的延长线上，截得BE=DN，连接AE得到△ABE≌△AND，从而得到AE=AN，然后证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，从而得出答案；（2）、在DC上截取DF=BM，连接AF得到△ABM≌△ADF，然后证明△MAN≌△FAN，得到所求的答案.

试题解析：（1）、BM＋DN=MN成立．

如下图1，在MB的延长线上，截得BE=DN，连接AE，易证：△ABE≌△AND，∴AE=AN．

∴∠EAB=∠NMD．∴∠BAD=90°,∠NAM=45°

∴∠BAM+∠NMD=45°．∴∠EAB+∠BAM=45°．∴∠EAM=∠NAM又AM为公共边，∴△AEM≌△ANM，

∴ME=MN，∴ME=BE＋BM=DN＋BM.∴DN+BM=MN.

（2）、DN－BM＝MN．

如图2，在DC上截取DF=BM，连接AF．∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）

∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．

又∠MAN=45°，∴∠NAF=∠MAN=45°．∵AN=AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN=FN，即MN=DN－DF=DN－BM；