Question

已知点O是AB上的一点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．

（1）如图1，当点C，E，F在直线AB的同一侧时，若∠AOC＝40°，求∠BOE和∠COF的度数；

（2）在（1）的条件下，∠BOE和∠COF有什么数量关系？请直接写出结论，不必说明理由；

（3）如图2，当点C，E，F分别在直线AB的两侧时，若∠AOC＝β，那么（2）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？请写出结论，并说明理由．

Answer

(1) ∠COF＝25°, ∠BOE＝50°；(2) ∠BOE＝2∠COF;(3) ∠BOE＝2∠COF,理由见解析

【解析】

（1）求出∠BOE和∠COF的度数即可判断；

（2）由（1）即可求解；

（3）结论：∠BOE＝2∠COF．根据角的和差定义即可解决问题．

【解析】
（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝40°，

∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣40°﹣90°＝50°，

∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+90°＝130°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠EOF＝∠AOE＝×130°＝65°，

∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣65°＝25°；

（2）∠BOE＝2∠COF．

（3）∠BOE＝2∠COF．

理由如下：∵∠COE＝90°，∠AOC＝β，

∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°﹣β，

∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（90°﹣β）＝90°+β，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF＝∠AOE＝（90°﹣β）＝45°﹣β，

∴∠COF＝β+（45°﹣β）＝45°+β，

∴2∠COF＝2（45°+β）＝90°+β，

∴∠BOE＝2∠COF．