Question

如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，

(1)求△ABC的面积；

(2)如果在第二象限内有一点P(a，)，试用含a的式子表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；

(3)在x轴上，存在这样的点M，使△MAB为等腰三角形.请直接写出所有符合要求的点M的坐标.

Answer

【解析】
根据条件，A、B两点的坐标分别是()、().

(1) 在△ABO中，由勾股定理，得.

所以正△ABC的高是，从而△ABC的面积是.

(2) 过P作PD垂直OB于D，则四边形ABPO的面积

.

当△ABP的面积与△ABC的面积相等时，

四边形ABPO的面积－△AOP的面积＝△ABC的面积，

即.

解得.

(3) 符合要求的点M的坐标分别是()、()、()、()

【解析】

（1）由一次函数解析式可求出OA、OB的长度，在Rt△OAB中可求出AB的长度，再由等边三角形的性质可求出△ABC的面积；（2）依题意可得出S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP，当S△ABP=S△ABC时求出a值．（3）①以AB为腰的等腰三角形有三个，②以AB为底边的等腰三角形有1一个，分别求出点M的坐标即可．

【解析】
（1）∵函数解析式为：y＝

∴点B坐标为（0，1），点A坐标为（，0），
∴OA=，OB=1，
在Rt△OAB中，AB==2，
则等边三角形ABC的面积为AB2=．

（2）S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP=×OA×OB+×OB×h=××1+×1×|a|．
∵P在第二象限，∴S四边形ABPO=-==，
S△ABP=SABPO-S△AOP=（-）-×OA×．
∴S△ABP=--=-=S△ABC=．
∴a=-．

（3）（2）存在点M，使△MAB为等腰三角形
①若以AB为腰，如图所示：

当点M位于M1位置时，OM1=OA+AM1=OA+AB=2+，
此时点M1坐标为（2+，0）；
当点M位于M2位置时，OM2=OA=，
此时点M2坐标为（-，0）；
当点M位于M3位置时，OM3=AB=2，
此时点M3坐标为（-2，0）；
②若以AB为底边，如图所示：

作AB的中垂线交x轴于点M4，则此时△M4AB为等腰三角形，
∵OB=1，OA=，
∴∠OAB=30°，
∵AB=2，M4N是AB的中垂线，
∴AN=1，
在Rt△ANM4中，AM4==，
则OM4=OA-AM4=，
则此时M4的坐标为（，0）．
综上可得存在点M，使△MAB为等腰三角形，点M的坐标为：M1（2+，0）或M2（-，0）或M3（-2，0）或M4（，0）．