Question

如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②△ABM≌△NGF；③CP=；④；其中正确的个数是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

D

【解析】

①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代换得到∠DAM=∠AND，故①正确；

②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP=b-；故③正确；

③根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故②正确；

④由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确.

①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，

∴∠BAM+∠DAM=90°，

∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，

∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，

∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，

∴∠DAM=∠AND，故①正确；

②∵四边形CEFG是正方形，

∴PC∥EF，

∴△MPC∽△EMF，

∴，

∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM=b，

∴EF=b，CM=a-b，ME=（a-b）+b=a，

∴，

∴CP=b-；故③正确；

③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，

∴GN=ME，

∵AB=a，ME=a，

∴AB=ME=NG，

在△ABM与△NGF中，

，

∴△ABM≌△NGF；故②正确；

④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，

∴AM=AN，

∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，

∴NF=MF，

∵△ABM≌△NGF，

∴AM=NF，

∴四边形AMFN是矩形，

∵∠BAM=∠NAD，

∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，

∴∠NAM=90°，

∴四边形AMFN是正方形，

∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，

∴S四边形AMFN=AM2=a2+b2；故④正确．

故选D．