Question

如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是(   )

A. 15 B. 9 C. 6 D. 3

Answer

D

【解析】

延长AM、AN分别交BC于点F、G，根据BN为∠ABC的角平分线，AN⊥BN得出∠BAN＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AN＝GN．同理AM＝MF，根据三角形中位线定理即可得出结论．

∵△ABC的周长为30，BC＝12．

∴AB+AC＝30﹣BC＝18．

延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：

∵BN为∠ABC的角平分线，

∴∠CBN＝∠ABN，

∵BN⊥AG，

∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠AGB +∠CBN＝90°，

∴∠BAN＝∠AGB，

∴AB＝BG，

∴AN＝GN，

同理AC＝CF，AM＝MF，

∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，

∴MN＝(AB+AC﹣BC)＝(18﹣12)＝3．

故选：D．