Question

如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF，②∠DAE＝∠EAF，③AE²＝AD•AF，④S_△AEF＝5S_△ECF，其中正确结论的个数是(   )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer

D

【解析】

】设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，根据相似三角形的判定定理，勾股定理，正切的定义，相似三角形的性质定理判断即可．

设正方形的边长为4a，

则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，

∴＝2，＝2，

∴，又∠D＝∠C，

∴△ADE∽△ECF，①正确；

由勾股定理得，EF＝，AE＝，

AF=，

tan∠DAE＝，tan∠EAF＝，

∴∠DAE＝∠EAF，②正确；

AE2＝(2a)2＝20a2，AD•AF＝4a•5a＝20a2，

∴AE2＝AD•AF，③正确；

∵AE2＝AD•AF，

∴，又∠DAE＝∠EAF，

∴△ADE∽△AEF，

∴△ECF∽△AEF，

∴＝5，

∴S△AEF＝5S△ECF，⑤正确；

故选：D．