Question

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为S₁（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S₂（如图2）；继续操作下去…；第2019次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是_____．

Answer

【解析】

根据题意，可求得S△AED+S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1，同理可得规律：Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案．

∵四边形ECFD是正方形，

∴DE＝EC＝CF＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠B＝45°，

∴AE＝DE＝EC＝DF＝BF＝EC＝CF，

∵AC＝BC＝2，

∴DE＝DF＝1，

∴S△AED+S△DBF＝S正方形ECFD＝S1＝1；

同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，

Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，

∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2﹣S1＝1＝S1，

第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1﹣S2＝1﹣＝＝S2，

第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2﹣S3＝﹣＝＝S3，

…

第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn﹣1﹣Sn＝Sn＝．则s2019＝；

故答案为：．