Question

关于x的一元二次方程x²﹣(2k﹣1)x+k²﹣2k+2＝0有两个不相等的实数根．

(1)求实数k的取值范围；

(2)设方程的两个实数根分别为x₁，x₂．是否存在这样的实数k，使得|x₁|﹣|x₂|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．

Answer

(1)k＞；(2)k＝3．

【解析】

(1)由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；

(2)由韦达定理知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k﹣1)2+1＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．

(1)由题意知△＞0，

∴[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2﹣2k+2)＞0，

整理，得：4k﹣7＞0，

解得：k＞；

(2)由题意知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k+1)2+1＞0，

∵|x1|﹣|x2|＝，

∴x12﹣2x1x2+x22＝5，即(x1+x2)2﹣4x1x2＝5，

代入得：(2k﹣1)2﹣4(k2﹣2k+2)＝5，

整理，得：4k﹣12＝0，

解得：k＝3．