Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；

（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：

①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；

②若CE=4，CF=2，求DN的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）①AB2=4CE•CF；②．

【解析】试题（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根据全等三角形的性质即可的结论；

（2）①证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2=CE•CF，根据等腰直角三角形的性质得到CD=AB，于是得到AB2=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=，推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到=2，根据勾股定理即可得到结论．

试题解析：（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE与△DCF中，∵CE=CF，∠DCE=∠DCF，CD=CD，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF；

（2）【解析】
①∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴，即CD2=CE•CF，∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴CD=AB，∴AB2=4CE•CF；

②如图，过D作DG⊥BC于G，则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，由CD2=CE•CF得CD=，∴在Rt△DCG中，CG=DG=CD•sin∠DCG=×sin45°=2，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴=2，∴GN=CG=，∴DN===．