Question

二次函数y＝﹣x²+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x²+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，则t的取值范围是_____．

Answer

﹣5≤t≤4．

【解析】

先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．

【解析】
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，

抛物线的顶点坐标为（2，4），

当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；

当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，

当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．

所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t的取值范围为﹣5≤t≤4．

故答案为﹣5≤t≤4．