Question

如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．

（1）当DC⊥AB时，则＝　   　；

（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；

②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；

（3）当时，求的值．

Answer

（1）；（2）①DA+DB＝DC，②S＝t2﹣m2 ；（3）.

【解析】

（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；

（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；

②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；

（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．

【解析】
（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵C为的中点，

∴，

∴∠ADC＝∠BDC＝45°，

∵DC⊥AB，

∴∠DEA＝∠DEB＝90°，

∴∠DAE＝∠DBE＝45°，

∴AE＝BE，

∴点E与点O重合，

∴DC为⊙O的直径，

∴DC＝AB，

在等腰直角三角形DAB中，

DA＝DB＝AB，

∴DA+DB＝AB＝CD，

∴＝；

（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，

∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，

∴∠NBC＝∠MCA，

在△NBC和△MCA中，

，

∴△NBC≌△MCA（AAS），

∴CN＝AM，

由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，

AM＝DA，DN＝DB，

∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），

即DA+DB＝DC；

②在Rt△DAB中，

DA2+DB2＝AB2＝m2，

∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，

且由①知DA+DB＝DC＝t，

∴（t）2＝m2+2DA•DB，

∴DA•DB＝t2﹣m2，

∴S△ADB＝DA•DB＝t2﹣m2，

∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；

（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，

则NE＝ME，四边形DHEG为正方形，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴AB＝AC，

∵，

设PD＝9，则AC＝20，AB＝20，

∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，

∴△ABD∽△PBA，

∴，

∴，

∴DB＝16，

∴AD＝＝12，

设NE＝ME＝x，

∵S△ABD＝AD•BD＝AD•NE+BD•ME，

∴×12×16＝×12•x+×16•x，

∴x＝，

∴DE＝HE＝x＝，

又∵AO＝AB＝10，

∴．