Question

如图，抛物线y＝a（x﹣m﹣1）²+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相交于点A（0，m）连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点C、B的对应点分别是点B′和C′．

（1）当m＝1时，该抛物线的解析式为：　   　．

（2）求证：∠BCA＝∠CAO；

（3）试问：BB′+BC﹣BC′是否存在最小值？若存在，求此时实数m的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+1；（2）见解析；（3）BB′+BC﹣BC′存在最小值，m＝1+.

【解析】

（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，把m＝1代入上式，即可求解；

（2）求出点B、C的坐标，即可求解；

（3）当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC﹣BC′存在最小值，证△BAO∽△POD，即可求解．

【解析】
（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，

则二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m…①，

则点P的坐标为（m+1，2m），点A的坐标为（0，m），

把m＝1代入①式，整理得：y＝﹣x2+x+1，

故：答案为：y＝﹣x2+x+1；

（2）把点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：

，解得：，

则直线PA的表达式为：y＝x+m，

令y＝0，解得：x＝﹣m﹣1，即点B坐标为（﹣m﹣1，0），

同理直线OP的表达式为：y＝x…②，

将①②联立得：a（x﹣m﹣1）2+2m﹣x＝0，其中a＝﹣，

该方程的常数项为：a（m+1）2+2m，

由韦达定理得：x1x2＝xC•xP＝＝＝﹣（m+1）2，

其中xP＝m+1，

则xC＝﹣m﹣1＝xB，

∴BC∥y轴，

∴∠BCA＝∠CAO；

（3）如图当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC﹣BC′存在最小值，

设：直线l与x轴的交点为D点，连接BB′、CC′，

∵点C关于l的对称点为C′，

∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD＝∠PCC′，

∵∠PB′C′+∠PB′B＝180°，

△PB′C′由△PBC旋转而得，

∴∠PBC＝∠PB′C′，PB＝PB′，∠BPB′＝∠CPC′，

∴∠PBC+∠PB′B＝180°，

∵BC∥AO，

∴∠ABC+∠BAO＝180°，

∴∠PB′B＝∠BAO，

∵PB＝PB′，PC＝PC′，

∴∠PB′B＝∠PBB′＝，

∴∠PCC′＝∠PC′C＝，

∴∠PB′B＝∠PCC′，

∴∠BAO＝∠PCC′，

而∠POD＝∠PCC′，

∴∠BAO＝∠POD，

而∠POD＝∠BAO＝90°，

∴△BAO∽△POD，

∴，

将BO＝m+1，PD＝2m，AO＝m，OD＝m+1代入上式并解得：

m＝1+（负值已舍去）．