Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点．

（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；

（2）若∠APO=∠BPO．

①求此时P点的坐标；

②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）P点坐标为（，0）；（2）①点P坐标为（﹣2，0）；②y轴上存在点Q使得△QAB的面积等于△PAB的面积，Q的坐标为（0，﹣5）或（0，19）.

【解析】

（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．

（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO=∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．

②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．

（1）∵两点之间线段最短，∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB=AB最短（如图1）．

设直线AB的解析式为：y=kx+b．

∵A（2，2），B（4，﹣3），∴，解得：，∴直线AB：yx+7．

当x+7=0时，得：x，∴P点坐标为（，0）．

（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2）．

根据轴对称性质有∠APO=∠A'PO．

∵∠APO=∠BPO，∴∠A'PO=∠BPO，∴P、A'、B在同一直线上（如图2）．

设直线A'B的解析式为：y=k'x+b'．

，解得：，∴直线A'B：yx﹣1．

当x﹣1=0时，得：x=﹣2，∴点P坐标为（﹣2，0）．

②存在满足条件的点Q．

法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3），∴PC=4，BD=2，∴S△PAB=S△PAA'+S△BAA'．

设BQ与直线AA'（即直线x=2）的交点为E（如图4）．

∵S△QAB=S△PAB，则S△QAB2AE=12，∴AE=6，∴E的坐标为（2，8）或（2，﹣4）．

设直线BQ解析式为：y=ax+q．则：

或

解得：或，∴直线BQ：y或y，∴Q点坐标为（0，19）或（0，﹣5）．

法二：∵S△QAB=S△PAB，∴△QAB与△PAB以AB为底时，高相等，即点Q到直线AB的距离=点P到直线AB的距离．

i）若点Q在直线AB下方，则PQ∥AB．

设直线PQ：yx+c，把点P（﹣2，0）代入，解得：c=﹣5，yx﹣5，即Q（0，﹣5）；

ii）若点Q在直线AB上方．

∵直线yx﹣5向上平移12个单位得直线AB：yx+7，∴把直线AB：yx+7再向上平移12个单位得直线AB：yx+19，∴Q（0，19）．

综上所述：y轴上存在点Q使得△QAB的面积等于△PAB的面积，Q的坐标为（0，﹣5）或（0，19）．